Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny jest jedną z podstawowych cech opisujących fraktal. Aby przybliżyć to pojęcie należy najpierw przypomnieć podstawowe wiadomości na temat wymiarów i pewnych właściwości z nimi związanych.

Celem poniższego wprowadzenia będzie wyjaśnienie w jaki sposób wymiar danego obiektu można przedstwić za pomocą wzroru:

D- wymiar

N- liczba podstawowych części jaką obiekt zawiera o s- skali podobieństwa

Innymi słowy: Logarytm przy podstawie równej skali podobieństwa z liczby określającej “ile razy większa jest figura wyjściowa od figury podobnej”

Zależność tę można prościej przedstawić jako

 

(s- skala podobieństwa- określa ile razy dany obiekt został powiększony lub pomniejszony w stosunku do wyjściowego, o ile jest do niego podobny. Dla odcinka jest to stosunek ich długości  

 

dla pól  

 

dla objętości )

 

 

Powszechnie wiadomym jest jak wyglądają obiekty jedno- dwu- i trzywymiarowe. Jednowymiarowym D=1 obiektem jest odcinek , dwuwymiarowym D=2 figura płaska, np. kwadrat, trójwymiarowym D=3 figura przestrzenna np. sześcian. Te dość oczywiste liczby można właśnie wyprowadzić z powyższego wzoru co zostanie poniżej przedstawione.

 

Odcinek trzeci jest 3x większy od wyściowego odcinka o długości 1, czyli s=3 i składa się z 3 podstawowych części, stąd

N=3

s=3

Podstawiając do wzoru sD=N otrzymujemy 31=3

 

Następny przykład

Analogicznie biorąc jako przykład kwadrat nr 3: Jest zbudowany z N=9 części, cały jest s=3 razy większy od podstawowej części go budującej, podstawiając do wzoru sD=N i biorąc D=2 gdyż jest to obiekt dwuwymiarowy, mamy 32=9 i stąd możemy wyprowadzić wzrór na wymiar: 

Kolejny przykład- sześcian

 

Dla zilustrowania powyższych zależności w odnieśeniu do fraktala zastosujmy jeden z bardziej znanych i stosunkowo prostych przykładów jakim jest krzywa Kocha. Zostanie wykazane, iż obiekty fraktalne nie posiadają wymiaru, który należy do trzech zaprezentowanych powyżej przykładów, natomiast wartość liczbowa wymiaru fraktalnego nie jest liczbą całkowitą.

 

Krzywa Kocha

 

Krzywa Kocha różni się od normalnej krzywej m.in. tym, iż jest nieskończenie długa mimo tego, że mieści się na skończonej powierzchni. Powyższy rysunek jest przybliżeniem, lepiej znaczenie tego oddaje:

 

W jaki sposób można opisać taką strukturę? Można wyznaczyć jej długość L, nie będzie to jednak wystarczająco zadowalająca informacja. Spróbujmy zatem “wypełnić” ją mniejszymi odcinkami. Analogicznie co do poprzednich przykładów- w tym przypadku podstawowy odcinek jest 3x mniejszy w stosunku do L, s=1/3 L, stąd s=3 * jednakże całość składa się z 4 takich podstawowych odcinków, stąd N=4

 

*(dygresja matematyczna: w ostatecznym rachunku nie ma znaczenia czy przyjmiemy wartość s=1/3 czy s=3, dla przejrzystości przyjmijmy więc s=3)

Widzimy tu, że wartość D nie jest liczbą całkowitą a zawiera się między wartością 1 a 2, oznacza to właśnie jedną z definicji fraktala- jego wymiar fraktalny (podobieństwa/Haussdorfa) (w omawianym przypadku właśnie o wartości D=1,26) jest większy niż jego wymiar topologiczny, który w tym przypadku dla prostej wynosi 1.

 

Podobnie jeśli zwiększymy dokładność “wypełnienia” na 16 części, których długość wynosi 1/9 L, otrzymamy tę samą wartość wymiaru fraktalnego.

 

Powyższy przykład jest jednym ze sposobów obliczania wymiaru fraktalnego, istnieją także inne metody. Dotyczy on także jednego z najprostszych przykładów fraktala będącego konstruktem matematycznym, w rzeczywistości obiekty te wykazują jeszcze większy stopień przestrzennej i wielowymiarowej budowy.

 

 

Dodaj komentarz

Close Menu