Czym jest fraktal?

Fraktale w pierwszym momencie kojarzą się z czymś bardzo abstrakcyjnym i odległym, wydaje się iż na codzień nie ma się z nimi nic do czynienia. Jednak nic bardziej mynego. Każdy widział fraktal gdyż każdy widział np. Drzewo, lecz mógł nie zdawać sobie z tego sprawy. Można powiedzieć, że fraktale służą do pewnego sposobu opisu obiektów naturalnych i z m.in. takiej potrzeby się zrodziły. Jednocześnie istnieją one samoistnie w rzeczywistości matematycznej, będąc w niej obiektami w bardziej idealnej formie w porównaniu z ich odpowiednikami w naturze. Świadaomość istnienia w matematyce obiektów takich jak fraktale jest znacznie dłuższa niż data 1975r., w którym Benoit Mandelbrot dokonał pierwszego spójnego ich opisu nadał im nazwę fraktali (od słówa fractus- cząstkowy, złamany) Jednakże wcześniej matematycy unikali raczej tematu i nie posiadali metodologii opisu nietypowego wyglądu fraktali.

W celu ułatwienia przybliżenia tematu fraktali, można podzielić je na dwa wątki: jeden- rozwój teorii fraktali w ścisłej czystej matematycznej rzeczywistości oraz drugi- stopniwe odkrywanie, iż także obiekty naturalne są fraktalami lub mają fraktalne właściwości. Oba zagadnienia po raz pierwszy połączył wspomniany ju wcześniej B. Manelbrot w swoim najważniejszym dziele The Fractal Geometry of NatureFraktalna Geomatria Przyrody.

Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line. B. Mandelbrot

Zwykliśmy postrzegać kształty poprzez pryzmat brył, wyidealiowanych obiektów takich ja np. kula, stożek, sześcian itp. Ich powierzchnie są gładkie a brzego równe. W pewnym stopniu I w przybliżeniu są przydatne do opisu obiektów naturalnych, lecz zdecydowanie niewystarczająco. Obiekty naturalne wykaują duży stopień nieregularności, poszarpania i złożoności. Fraktale okazały się być obecnie najbardziej adekwatnym narządziem służącym do opisu tych struktur.

Fraktale istniejące samoistnie w matematycznej rzeczywistości oznaczają obiekty o nieskończenie złożonej budowie, których brzegi są poszarpane i rozbudowane. Już sama nieskończenie złożona budowa odróżnia je od klasycznych obiektów geometrycznych i oznacza, iż przyglądając się dowolnej częśći fraktala, w dowolnie małej czy dużej części, zaobserwujemy obiekt o takiej samej nieskończenej złożoności szczegółów. Fraktala nie można rozłożyć na proste, pozbawione szczegółowości części. Można powiedzieć, że fraktale nie mają najniższego pozomu złożoności, na każdym poziomie wykazują tak samo skomplikowaną budowę, nie tracąc jej nawet w wielokrotnym pomniejszeniu czy powiększeniu. Cecha ta jest związana z najbardziej charakterystycznym zjawiskiem jakie wykazują fraktale jaką jest samopodobieństwo. Fraktale to obiekty samopodobne. Oznacza to, że każda część fraktala ma budowę taką samą lub przypominającą całość. I znowu powiększająć/pomniejszając w nieskończoność fraktalny obiekt nie tylko uzyskujemy obraz o takiej samej złożoności, ale także podobny jak w punkcie wyjściowym. Samopodobieństwo fraktali jest także blisko powiązane z cechą niezależności od skali (tzw. scale invariance/scale-free), która oznacza, iż obiekty albo ich zachowanie nie zmienia się wraz ze zmianą skal różnych zmiennych. Oprócz samopodobieństwa, najbardziej istotnymi cechami fraktala jest wymiar fraktalny (omówienie- Wymiar fraktalny) oraz procedura iteracyjna, która w skrócie ozancza wielokrotne powtarzanie tej samej operacji matematycznej przy czym wynik równania staje się substratem dla następnej.

Spójrzmy w tym momencie na animację ukazującą fraktal, mając przy tym w świadomości, że za obrazem tym stoi prosta formuła matematyczna: z=z2+ c poddana procesowi iteracji. Jest to także właśnie istotą fraktali- proste wzory dające nieskończenie złożone rezultaty i samopodobieństwo (lub przybliżone samopodobieństwo) Poniżej znajdą się inne przykłady matematycznych fraktali i grafiki fraktalnej.

Obiekty występujące naturalnie w przyrodzie także są fraktalami. Przejawia się to w budowie chociażby wspomnianego wcześniej drzewa, na tym przykładzie bardzo łatwo zauważyć samopodobieństwo w sposobie rozchodzenia się gałęzi. Podziały na coraz to mniejsze gałęzie przebiegają tak samo jak główne rozgałęzienia. Oczywiście jest to jeden z najprostszych przykładów o niewielkiej złożoności. Bardziej złożoną fraktalną budowę można zaobserwować na jednym z najbardziej popularnych przykładów jakim jest kalafior romanesco. Widzimy w nim zarówno samopodobieństwo jak i zachowanie tego samego stopnia złożoności w coraz to mniejszych gałązkach. Stale powiększaja się lista obiektów, które okazują się być fraktalami. Co istotne, fraktalne właściwości nie dotyczą tylko wyglądu struktur ale także procesów zachącących w czasie.

Dotychczasowe obserwacje dostarczają dowodów na fraktalność naturalnych zjawisk i obiektów takich jak np. (Wikipedia) sieci rzeczne, pasma górskie, kratery, błyskawice, linie brzegowe, rogi kozicy, drzewa, algi, optyka geometryczna, wzory ubarwień zwierząt, ananas, rytm serca, trzęsienia ziemi, płatki śniegu, synchronizacja pracy mózgu, kryształy, naczynia krwionośne, fale oceanu, DNA, pory gleby, pierścienie Saturna, białka, powierznia turbulentnego przepływu, aktynowy cytoszkielet komórki

Aby najlepiej zaś uchwycić istotę fraktali i ich początek należy wysłuchać wykładu samego Benoita Mandelbrota, który miał miejsce na spotkaniach TED2010: Fraktale i piękno chropowatości

Fraktale w matematyce, grafice i naturze:

Trójkąt Sierpińskiego
Kostka Mengera

 

 

 

 

 

Zbiór Julii

 

Krzywa Kocha

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kalafior Romanesco

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wygenerowana fraktalnie przez algorytm poddany procesowi iteracji tzw. Paproć Bransleya

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Omawiając fraktale występujące w przyrodzie należy zwrócić uwagę na cechę, którą odróżnia je od fraktali generowanych matematycznie. Przyjmuje się, iż naturalne fraktale mają kres swojej złożoności wynaczony przez ziarnistość materii, budowę składającą się z atomów i cząsteczek. Nie można więc powiększać ich w nieskończoność uzyskując ten sam stopień złożoności i odnajdując samopodobieństwo. Jednak w tym miejscu możnaby zostawić mimo to tę kwestię dyskusyjną lub otwartą. Wiadomo, iż na przestrzeni czasu odkrywano coraz to nowsze cząsteczki subatomowe (kwarki, leptony, bozony) i mimo ustalonego obecnie obowiązującego Modelu standardowego, możliwe że z czasem zostanie on jeszcze bardziej rozbudowany. Przestrzeń atomu jest jedynie w ułamku procenta wypełniona materią, co zatem z samą przestrznią i jaka jest jej natura? Całkowita próżnia jest stanem tylko teoretycznym a i wygląda na to, że sama materia stanowi tzw. fluktuacje kwantowej próżni, której daleko od nicości. I czy jest to na pewno stateczny poziom organizacji rzeczywistości? Niestety na te odpowiedzi trzeba będzie zapewne jeszcze przez pewien czas poczekać. Nie mniej jednak z zasobów tego, co już zdążyło się ustalić w temacie fraktali wiele znalazło konkretne zastosowania w szerokim spektrum dzienin (Wikipedia).

Przeogromny wpływ fraktali odnajdujemy w grafice. Za pomocą odpowiednich programów generujących wyniki fraktalnych algorytmów, możliwe jest tworzenie niezwykle intrygujących animacji, jakich przykłady znajdują się poniżej a także najbardziej realistycznych odzworowań rzeczywistości. Rola fraktali w sztuce jest także obiektem badań naukowych, gdyż nie tylko dostarcza wrażeń estetycznych ale wstępnie wydaje się, że ma dobroczynny wpływ na stan psychiczny redukując reakcje stresową (Neurophysiological Response to Fractals)

Fraktale stopniowo przechodzą do szerokiej świadomości stanowiąc przede wszystkim ogromny wkład w rozumienie natury rzeczywistości oraz naszej własnej, ludzkiej natury, będącej nierozerwalnie jej częścią.

Film dokumentalny- Ukryty wymiar. Fraktale

 

 

Dodaj komentarz

Close Menu