W poszukiwaniu wzorca, chaos i fraktale.

Odkrywanie praw przyrody i natury rzeczywistości dzięki matematyce ma długą historię i sięga od czasów starożytnych, poprzez szereg postaci jak Pitagoras, który pisał: „Liczba jest istotą wszystkich rzeczy.”, Leonarda Fibonacci znanego ze sławnego ciągu Fibonacciego czy D’Arcy Thompsona, opisującego matematyczne oblicze naturalnych form w przełomowym dziele „O wzroście i formie” oraz wiele innych aż do czasów współczesnych.

Obecnie najbardziej zaawansowaną matematyczną dziedziną zajmującą się opisywaniem zachowań natury i rzucającą nowe światło na strukturę wszechświata jest dynamika nieliniowa i ściśle z nią zawiązana teoria chaosu. Do jej odkrycia doprowadziły poszukiwania wzorców, nieznanych dotąd zależności oraz próby przewidywań zachowań układów. Właśnie z niej zaczerpnąć możemy z nowego zestawu narzędzi, zdolnych do ukazania właściwości dotychczas nie uwzględnianych a dotyczących struktury i funkcji zarówno organizmów żywych jak i zjawisk i obiektów naturalnych jako żywych nie klasyfikowanych. Dzięki nim możliwe jest budowanie podwalin pod zrozumienie następnego etapu ewolucji myśli przyrodniczej, uznawaną wręcz za zmianę paradygmatu, co niewątpliwie przekłada się na m.in. nauki medyczne.

W dziedzinie dynamiki nieliniowej funkcjonuje wiele nowych pojęć. Jednym z nich jest fraktal i dobrym sposobem na próbę wstępnego przedstawienia tej dziedziny jest rozpoczęcie właśnie od jego opisu.

Słowo fraktal pochodzi z łaciny i oznacza złamany, cząstkowy, ułamkowy a najogólniej ujmując jest to obiekt samopodobny. Do nauki określenie fraktal wprowadził w 1975r. Benoit Mandelbrot, który nadał tą nazwę obiektom będącym już od pewnego czasu w polu zainteresowań matematyków oraz wygenerował najbardziej znany przykład fraktala, zbiór Mandelbrota.

zbiór Mandelbrota

 

zbiór Mandelbrota

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lepiej niż obraz, charakter fraktali ukazuje animacja wielokrotnie powiększająca zbiór Mandelbrota:

Warto w tym miejscu wysłuchać krótkiego wykładu B. Mandelbrota dokładniej wyjaśniającego Jego wkład w odkrycie fraktali pt. Fraktale i piękno chropowatości

James Gleick, autor książki „Chaos” będącej bestsellerem w dziedzinie popularnonaukowego przedstawienia teorii chaosu, podał poetycką definicję, która brzmi:

„Fraktal jest sposobem widzenia nieskończoności okiem duszy.

O ile intuicyjne odczucie zrozumienia czym jest fraktal jest możliwe, o tyle charakter współczesnych czasów wymaga nieco bardziej naukowej definicji oraz ujęcia w bardziej obiektywne ramy. Jak wcześniej wspomniano, jest to obiekt samopodobny, oznacza to, iż każda część, niezależnie od miejsca lub położenia, jest podobna do całości. Innymi słowami, każda, nawet bardzo mała część struktury posiada informacje dotyczące całości i z której całość można odtworzyć. Tak samo proces odwrotny- z całości można odczytać informacje dotyczące małych części.

Jednakże nie każdy obiekt samopodobny jest fraktalem. Musi on spełniać dodatkowo inne warunki. Najważniejszy dotyczy jego wymiarów i stanowi, iż jego wymiar fraktalny (wymiar Hausdorffa/podobieństwa) jest większy niż jego wymiar topologiczny. Wymiar fraktalny jest miarą złożoności struktury. Do pomocy w zrozumieniu można podać przykład linii prostej na płaszczyźnie- jest ona samopodobna lecz nie spełnia żadnych innych cech, przez co nie jest fraktalem. Cechy fraktala prowadzą także do wniosków, iż każda najmniejsza zmiana w jego obrębie wpływa na całość, jak i odwrotnie. Jego podstawowy wzór jest taki sam w całym spektrum skali przez co nie można odizolować niezależnej części od całości.

Przykładów fraktali, będących realnymi, naturalnymi obiektami widzianymi na co dzień, a nie będącymi jedynie abstrakcyjnymi tworami matematyczno- informatycznej rzeczywistości, jest wiele. Niezwykle intrygującym przy tym jest fakt, iż niezależnie od punktu wyjściowego poszukiwań- czy jest to rytm serca czy chmury na niebie, budowa istot żywych czy monumentalnych szczytów górskich, liść paproci czy błysk błyskawicy- to jest już wiadomym, iż istnieje pewna właściwość, która jest wspólna dla wszelkiego przejawienie się natury i jest nią właśnie właściwość fraktali. Dlatego myślę, że można już bezpiecznie pokusić się o stwierdzenie, iż nasza rzeczywistość jest z natury fraktalna. Wprowadza to bardzo dużą rewolucję w rozumieniu natury rzeczywistości. Zasadnym staje się zatem założenie „fraktalnych okularów” i poprzez nie spoglądanie na świat wokół i procesy nim rządzące. Wówczas możemy niejako odkrywać świat na nowo, na wyższym poziomie zrozumienia. Jednakże o ile wyizolowane fraktale stosunkowo łatwo zauważyć i zrozumieć, o tyle mechanizm stojący za ich generacją jest sprawą znacznie trudniejszą do przestawienia.

W tym miejscu powróci pojęcie dynamiki nielinowej oraz teorii chaosu. Chaos, w największym skrócie, dotyczy zachowania układu wykazującego dużą tzw. wrażliwość na warunki początkowe, czego konsekwencją jest bardzo duża zmiana zachowania układu w odpowiedzi na wprowadzenie niewielkich zmian do układu, znane popularnie jako efekt motyla. W przenośni efekt ten oznacza, iż nawet trzepot skrzydeł motyla może wywołać tornado w innym, bardzo odległym, miejscu. Jest też kojarzony z atraktorem Lorenza (opisującym zachowanie układu chaotycznego), którego kształt przypomina skrzydła motyla.

Atraktor Lorenza

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Co zaskakujące, tak „chaotyczne” (pozornie) zjawisko ma swoje odzwierciedlenie w postaci fraktali, będącymi obrazami chaosu. Zagadnienie chaosu w bardzo przystępnej formie jest opisane w książce „Liczby natury” Ian’a Stewart’a i z której pochodzi cytat zgrabnie łączący chaos z fraktalami:

„Chaos to dynamiczny proces będący przyczyną fraktali.”

Elementem bezpośrednio łączącym fraktale i chaos jest atraktor szczególnego rodzaju nazwany przez to dziwnym atraktorem. Dziwny atraktor jest fraktalny i stanowi pomost między dwoma tymi zjawiskami.

Jest czymś niesamowitym, iż za nieskończenie złożoną ale wyraźnie uporządkowaną i wzbudzającą poczucie piękna fraktalną fasadą kryje się coś tak nieokiełznanego jak chaos. Jednak, co ponownie zaskakujące, chaos, choć może się taki wydawać, nie jest przypadkowy. Precyzyjniej używa się pojęcia chaos deterministyczny, co oznacza iż jest on określony i wykazuje ścisłe związki przyczynowo-skutkowe.

Dokonania dynamiki nieliniowej zostały już w dużym stopniu przełożone także na grunt medycyny i ich udział stale rośnie. Dotyczy to m.in. wprowadzenia w fizjologii pojęcia homeodynamiki w miejsce homeostazy, rozwijania podejścia systemowego w miejsce redukcjonizmu czy zastosowań fraktalnej analizy sygnałów biomedycznych.

Poznanie i zrozumienie wzorca najwierniej odzwierciedlającego naturę jest niezwykle ważne i kluczowe do dalszych etapów. Być może w przyszłości, zrozumienie wzorca układu zostanie na tyle rozwinięte, iż będzie możliwe wyjście poza samą rolę obserwatora i w przypadku dysharmonii układu, zmiana jego działania na głębokim, przyczynowym poziomie za pomocą nowego rodzaju technologii.

Dodaj komentarz

Close Menu